Ecuación de segundo grado

La ecuación de segundo grado, y el número que lo decide todo

Una ecuación de segundo grado es cualquiera que se pueda escribir así:

ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0

El primer paso no es la fórmula: es ordenarla. Todo a un lado, el cero al otro, y los términos semejantes juntos. Si tienes 2x² + 5 = 7x, lo que hay que resolver es 2x² − 7x + 5 = 0, así que a = 2, b = −7 y c = 5. Este paso es donde se pierden más ejercicios que en toda la fórmula junta, casi siempre por un signo al pasar un término al otro lado.

Con la ecuación ordenada, la fórmula general la resuelve siempre:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

El ± es lo que da dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola. Y lo que hay debajo de esa raíz tiene nombre propio y manda sobre todo lo demás.

El discriminante: lo que decide antes de resolver

Se llama discriminante, se escribe con la letra griega delta y es esto:

Δ = b² − 4ac

Es el número que va dentro de la raíz cuadrada, y por eso decide qué clase de respuesta vas a obtener antes de terminar la cuenta. Solo hay tres posibilidades, y su nombre lo dice: «discriminante» porque discrimina, porque separa los casos.

• Δ > 0 → dos soluciones reales distintas. La raíz de un número positivo existe y el ± reparte hacia dos sitios diferentes. Es el caso normal: x² − 5x + 6 = 0 tiene Δ = 1 y sale x₁ = 3, x₂ = 2.
• Δ = 0 → una solución doble. La raíz vale cero, el ± deja de repartir y las dos soluciones de la fórmula caen en el mismo número. Se dice «una solución doble», no «dos soluciones iguales»: x² − 4x + 4 = 0 tiene la solución doble x = 2.
• Δ < 0 → no tiene soluciones reales. Ningún número real da negativo al elevarlo al cuadrado, así que esa raíz no existe entre los reales y ahí se acaba la respuesta en la ESO. En bachillerato sí se sigue: existen dos soluciones complejas conjugadas, x = (−b ± i√|Δ|) / 2a, la misma cifra con la parte imaginaria cambiada de signo. x² + x + 1 = 0 no tiene solución real, y sus complejas son −0,5 ± 0,8660254038 i.

Por eso el discriminante se calcula siempre primero. En un examen te dice en diez segundos qué tipo de respuesta estás buscando, y si te sale negativo cuando esperabas dos soluciones bonitas, casi siempre es que te has equivocado en un signo al ordenar la ecuación.

Las soluciones, en la gráfica: son los cortes con el eje X

Esta es la idea que convierte la fórmula en algo que se entiende. Si dibujas y = ax² + bx + c sale una parábola, y resolver la ecuación es preguntar ¿en qué puntos vale y = 0?. La respuesta está a la vista: las soluciones son los puntos donde la parábola corta el eje X.

Todo lo del discriminante deja entonces de ser una regla que memorizar:

• Δ > 0: la parábola cruza el eje X en dos sitios. Dos soluciones.
• Δ = 0: la parábola no llega a cruzarlo, solo lo toca en un punto —que además es el vértice—. Una solución doble.
• Δ < 0: la parábola pasa entera por encima o por debajo del eje X y no lo corta. Ninguna solución real. No es que las soluciones se escondan: es que no hay ningún punto de corte que enseñar.

El signo de a dice hacia dónde se abre: hacia arriba si es positivo (con forma de U, y el vértice es el punto más bajo) y hacia abajo si es negativo (∩, y el vértice es el más alto). Y el vértice está siempre en x = −b / 2a, que es exactamente el punto medio entre las dos soluciones, porque la parábola es simétrica. Su altura sale de sustituir esa x en la ecuación, o directamente con y = −Δ / 4a. La parábola de y = x² − 4x + 3 tiene el vértice en (2, −1) y corta el eje X en 3 y en 1: el 2 está justo en medio.

El término c tiene también una lectura inmediata: es el valor de y cuando x = 0, es decir, por dónde pasa la curva al cruzar el eje vertical.

Cómo comprobar el resultado sin rehacer la cuenta

Hay una manera de saber si tus dos soluciones son correctas que no obliga a repetir la fórmula. Se conoce como las fórmulas de Vieta y son estas dos:

x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a

Con las soluciones de x² − 5x + 6 = 0, que son 3 y 2: la suma es 5, y −b/a también es 5. El producto es 6, y c/a también es 6. Correcto. Son dos operaciones que se hacen de cabeza y cazan casi cualquier error de signo o de cuenta, que es donde de verdad se pierden los puntos. Cuando a = 1 quedan todavía más cortas: las dos soluciones suman −b y multiplican c.

De hecho, esto mismo funciona al revés y es la manera rápida de resolver muchas ecuaciones de clase sin tocar la fórmula: si a = 1, busca dos números que sumen −b y multipliquen c. En x² − 5x + 6 = 0, dos números que sumen 5 y multipliquen 6: el 3 y el 2. Resuelta de cabeza. Con coeficientes pequeños y enteros sale a la primera; en cuanto aparecen decimales o raíces, mejor la fórmula.

Cuándo conviene no usar la fórmula general

Las ecuaciones incompletas —a las que les falta b o les falta c— se resuelven en dos líneas, y usar la fórmula general con ellas es tirar medio folio y regalar ocasiones de equivocarse.

Si c = 0, saca factor común. La x está en los dos términos:

3x² − 12x = 0 → x(3x − 12) = 0

Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero, así que x = 0 o bien 3x − 12 = 0, es decir x = 4. Fíjate en que el 0 siempre es solución cuando c = 0, y es la solución que más se olvida: mucha gente divide entre x los dos lados —lo que la hace desaparecer— y entrega solo la mitad del ejercicio.

Si b = 0, despeja directamente. No hay término en x que estorbe:

2x² − 50 = 0 → x² = 25 → x = ±5

Aquí lo que se olvida es el signo negativo: son dos soluciones, +5 y −5, porque las dos elevadas al cuadrado dan 25. Si al despejar sale x² igual a un número negativo, no hay solución real, y ya está: x² + 9 = 0 no tiene ninguna, sin necesidad de calcular ningún discriminante. Esta forma también se llama diferencia de cuadrados, porque x² − 25 = (x + 5)(x − 5), y de nuevo un producto que vale cero.

Y el caso más rápido de todos: si la ecuación ya viene factorizada, como (x − 3)(x + 7) = 0, las soluciones se leen directamente cambiando el signo de cada paréntesis: 3 y −7. Esta calculadora enseña esa factorización junto al resultado, precisamente para que se vea la ida y la vuelta.

Cuando a = 0: ya no es de segundo grado

Si el coeficiente a vale cero, el término x² desaparece y lo que queda, bx + c = 0, es una ecuación de primer grado: se despeja en un paso, x = −c/b, y su gráfica es una recta en vez de una parábola. No es un error ni un caso prohibido, así que esta calculadora la resuelve igual y te lo dice con esas palabras, sin ningún aviso rojo. Lo que sí deja de tener sentido es hablar de discriminante o de vértice, y por eso aparecen con una raya.

Si además b = 0, ya no queda ninguna x por ningún lado y la ecuación se reduce a c = 0. Entonces solo hay dos desenlaces: si c es distinto de cero, la igualdad es falsa y no tiene solución; y si c también vale cero, la igualdad es cierta siempre y la cumple cualquier número, es decir, tiene infinitas soluciones.

Soluciones exactas y soluciones decimales: no son lo mismo

Cuando el discriminante no es un cuadrado perfecto, la solución lleva una raíz que no se acaba nunca. La respuesta de x² − 2 = 0 es x = ±√2; el 1,4142135624 que da una calculadora es una foto aproximada, no el número. Lo mismo con las fracciones: la solución de 3x² − x = 0 es 1/3, y 0,3333333333 es otra foto.

En clase se pide casi siempre la forma exacta, con el radical simplificado —√8 se escribe 2√2— y la fracción reducida. Por eso esta página enseña las dos cosas cuando puede: la exacta, como x = (3 ± √41) / 4, y debajo el decimal para cuando lo que quieres es medir algo. Si escribes coeficientes con decimales solo aparece el decimal, porque entonces ya no hay ninguna forma exacta que enseñar.

Por qué esta calculadora no aplica la fórmula tal cual

Aquí va la letra pequeña, que es justo lo contrario de lo que se suele esconder. La fórmula (−b ± √Δ) / 2a es exacta en el papel, pero un ordenador no guarda números exactos, sino unas dieciséis cifras de cada uno. Cuando b² es mucho mayor que 4ac, la raíz cuadrada vale casi lo mismo que |b|, y una de las dos soluciones sale de restar dos números casi idénticos: esa resta se lleva por delante las cifras buenas y deja el resultado convertido en basura, o directamente en un cero.

El ejemplo está en el botón de arriba: x² + 100.000.000x + 1 = 0. Aplicando la fórmula tal cual, la segunda solución sale 0 o algo parecido, y es falso: si x = 0, la ecuación diría 1 = 0. La solución buena es −0,00000001, y se comprueba en un segundo con Vieta, porque el producto de las dos soluciones tiene que valer c/a = 1.

Para que eso no pase, aquí se calcula así:

q = −(b + signo(b)·√Δ) / 2
x₁ = q / a
x₂ = c / q

El truco es que b y la raíz se suman siempre con el mismo signo, así que nunca hay una resta que cancele cifras; y la segunda solución se saca de la propiedad x₁·x₂ = c/a, que no arrastra el error de la primera. Es la misma matemática —da exactamente los mismos números que la fórmula del libro cuando se hace a mano—, solo que ordenada de forma que un ordenador no pierda precisión. Por eso el paso a paso que ves en pantalla sigue siendo el de siempre: en el cuaderno no hay coma flotante que estropee nada.

El resto de las decisiones, en la misma línea: se redondea a diez cifras significativas al mostrar, nunca antes de calcular, que es la diferencia entre leer 3 y leer 2,9999999999999996; los números enormes o minúsculos se enseñan en notación científica para que no rompan la caja; y el discriminante se considera cero cuando es despreciable frente a b² y a 4ac, para que 0,3² − 4·1·0,0225 se lea como la solución doble que es y no como dos soluciones separadas por una milmillonésima.

Qué no hace esta calculadora

Resuelve ecuaciones de segundo grado de una incógnita, con coeficientes numéricos. No resuelve sistemas, no interpreta enunciados de problemas, no trabaja con parámetros (esas ecuaciones con una k dentro que piden discutir según su valor) y no factoriza polinomios de grado mayor que dos. Para las bicuadradas del tipo x⁴ − 5x² + 4 = 0 sí sirve, pero por partes: llama y = x², resuelve aquí y² − 5y + 4 = 0 y luego deshaz el cambio sacando la raíz cuadrada de cada solución, sin olvidar que cada una positiva da dos valores de x, uno con cada signo.