Équation du second degré
Les deux solutions et le développement écrit, à recopier sur le cahier.
x² − 5x + 6 = 0
Le calcul se refait à la frappe ; avec a = 0 cela devient une équation du premier degré.
Vérifiez les données saisies.
Pas à pas
Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± √1) / 2·1 = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3x₂ = 2
Vérification : x₁ + x₂ = 5 = −b/a · x₁ · x₂ = 6 = c/a
100 % privé — les calculs se font sur votre appareil. Les nombres que vous tapez ne sont envoyés à aucun serveur.
De l'arithmétique pure : aucun taux qui expire, aucun tableau qui vieillit. Les solutions sont calculées avec la forme numériquement stable de la formule générale — celle qui ne perd pas de chiffres quand b² est bien plus grand que 4ac — et arrondies à dix chiffres significatifs à l'affichage, jamais avant le calcul. Quand les coefficients sont entiers, la solution exacte est affichée en plus : c'est celle qu'on écrit à un examen.
La parabole, et où sont les solutions
Les solutions ne sont pas un nombre qui tombe d'une formule : ce sont les points où la courbe traverse l'axe des X. Le voir dessiné explique les trois cas d'un coup.
Comment résoudre une équation du second degré, et où cela dérape
Une équation du second degré est tout ce qui peut s'écrire ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La formule qui les résout toutes est celle que tout le monde apprend par cœur : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Tout ce qui est intéressant se cache sous cette racine.
Le discriminant décide de tout avant même de commencer
L'expression sous la racine, Δ = b² − 4ac, est le discriminant, et elle indique le nombre de solutions sans en calculer aucune :
Δ > 0 — deux solutions réelles distinctes. Le ± se dédouble vraiment, et la parabole coupe l'axe des X en deux points. Δ = 0 — une solution double. La racine vaut zéro, donc le ± n'ajoute et ne retire rien, et les deux réponses se confondent ; la parabole touche l'axe sans le traverser. Δ < 0 — pas de solution réelle, car aucun nombre réel élevé au carré ne donne un négatif. La parabole passe entièrement au-dessus ou entièrement en dessous de l'axe. Il existe tout de même deux solutions complexes conjuguées, et cette page les affiche.
Quand a = 0, ce n'est pas une erreur mais une autre équation
Beaucoup de solveurs refusent de répondre quand a = 0. Il n'y a rien à refuser : le terme en x² disparaît et il reste bx + c = 0, une équation du premier degré qui se résout directement en x = −c/b. Son graphique est une droite et non une parabole, et elle a exactement une solution. Si b est nul aussi, il ne reste plus aucun x : l'équation affirme soit quelque chose de faux (pas de solution), soit quelque chose de trivialement vrai, 0 = 0 (une infinité de solutions).
La réponse que votre calculatrice rate
Celle-ci vaut la peine d'être connue, parce qu'elle est invisible. Prenez x² + 100000000x + 1 = 0. Le discriminant vaut 10¹⁶ − 4, et sa racine carrée est presque exactement 100000000. Calculer la petite racine avec la formule du manuel revient donc à faire −100000000 + 99999999,99999998 : deux nombres qui coïncident sur quinze chiffres. Les soustraire annule tous les chiffres significatifs et ne laisse que du bruit d'arrondi.
La formule classique renvoie −7,450580597e−9 pour cette racine. La vraie valeur est −1e−8 : 25 % d'erreur, sans le moindre avertissement. Montez b à 10⁹ et elle renvoie carrément 0, ce qui ne peut pas être juste : avec x = 0 l'équation affirmerait 1 = 0.
Cette page l'évite en ne faisant jamais cette soustraction. Elle calcule q = −(b + signe(b)·√Δ)/2, où les deux termes partagent toujours le même signe et s'additionnent donc toujours, puis prend x₁ = q/a et obtient la seconde racine par x₂ = c/q, qui découle de x₁·x₂ = c/a et n'hérite pas de l'erreur de la première. C'est algébriquement la même formule — le développement affiché reste celui du manuel, parce que sur le papier il n'y a pas de virgule flottante.
Les réponses exactes valent mieux que les décimales
Avec des coefficients entiers, un décimal n'est pas vraiment la réponse. √2 = 1,414213562… ne se termine jamais, et 1/3 = 0,333… non plus. Écrire le décimal arrondi à un examen coûte généralement des points ; écrire x = (3 ± √41) / 4 non. Alors dès que a, b et c sont entiers, cette page donne aussi la forme exacte, radical simplifié (√72 devient 6√2) et fraction réduite.
Vérifiez gratuitement avec Viète
Nul besoin de tout refaire pour savoir si c'est juste. Pour toute équation du second degré, les deux racines vérifient x₁ + x₂ = −b/a et x₁ · x₂ = c/a. Pour x² − 5x + 6, cela veut dire que les racines ont pour somme 5 et pour produit 6, ce que font bien 3 et 2. Si l'une des deux ne tombe pas juste, il y a une erreur quelque part. Cette page fait les deux vérifications et les imprime sous le développement.
Ce que cette calculatrice ne fait pas
Elle résout une équation du second degré à une inconnue. Elle ne traite ni les systèmes, ni le troisième degré, ni les inéquations, ni les équations à réarranger d'abord — si vous avez 2x² = 3x − 5, passez tout du même côté pour obtenir 2x² − 3x + 5 = 0, puis entrez les coefficients. Elle ne fait pas non plus de calcul formel avec des lettres à la place des nombres.
À propos de l'arrondi : les chiffres sont coupés à dix chiffres significatifs à l'affichage, jamais avant le calcul. C'est ce qui transforme le 2,9999999999999996 de la virgule flottante en le 3 qu'il faut lire, sans toucher au moindre calcul.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'équation du second degré ?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Elle résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0, tant que a n'est pas nul. Ce qui se trouve sous la racine, b² − 4ac, est le discriminant, et lui seul décide du nombre de solutions.
Que dit le discriminant ?
Combien l'équation a de solutions réelles, avant même d'en calculer une seule. Si Δ > 0, il y a deux solutions réelles distinctes et la parabole coupe l'axe des X en deux points. Si Δ = 0, il y a une solution double et la parabole ne fait que toucher l'axe. Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle et la parabole n'atteint jamais l'axe, même s'il existe deux solutions complexes conjuguées.
Que se passe-t-il si a = 0 ?
Ce n'est plus une équation du second degré mais du premier : bx + c = 0, qui se résout directement en x = −c/b. Cette calculatrice n'y voit pas une erreur : elle la résout et le dit. Si b est nul aussi, il ne reste plus aucun x : l'équation est soit fausse (pas de solution), soit trivialement vraie (une infinité de solutions).
Pourquoi afficher la réponse avec un radical et pas seulement en décimal ?
Parce qu'avec des coefficients entiers, un décimal n'est pas la solution mais une photo arrondie de la solution. √2 ne se termine jamais, 1/3 non plus. Quand les coefficients sont entiers, cette page affiche aussi la forme exacte — radical simplifié et fraction réduite — qui est celle attendue par un correcteur.
Pourquoi le résultat diffère-t-il de celui de ma calculatrice ?
À cause de la façon dont la formule est calculée, pas des mathématiques. Quand b² est bien plus grand que 4ac, √Δ vaut presque exactement |b|, et la formule du manuel finit par soustraire deux nombres quasi identiques — ce qui détruit les chiffres significatifs. Cette page utilise la forme algébriquement identique mais numériquement stable, et la petite racine sort juste. Pour x² + 100000000x + 1 = 0, la formule classique donne −7,45e−9 alors que la bonne réponse est −1e−8.
Comment factoriser un trinôme à partir de ses racines ?
Une fois x₁ et x₂ connues, l'expression se factorise en a(x − x₁)(x − x₂). Pour x² − 5x + 6, les racines sont 3 et 2, donc cela se factorise en (x − 3)(x − 2). Si le discriminant est négatif, il n'y a pas de facteurs réels.
Qu'est-ce que la vérification de Viète ?
Un moyen gratuit de vérifier sa réponse sans refaire le calcul : les deux racines doivent avoir pour somme −b/a et pour produit c/a. Si l'une des deux ne tombe pas juste, il y a une erreur. Cette page fait la vérification et affiche les deux nombres sous le développement.
Conservez-vous ce que je tape ?
Non. Tous les calculs se font dans votre propre navigateur. Les coefficients que vous tapez ne quittent jamais votre appareil : aucun serveur ne les reçoit et aucune base de données ne les stocke.