Calculadora de fracciones

Fracciones: lo único difícil es sumarlas

Hay una asimetría que sorprende a todo el mundo la primera vez y que conviene tener clara antes de empezar: multiplicar fracciones es facilísimo y sumarlas es lo complicado. Justo al revés que con los números normales. Multiplicar dos fracciones es multiplicar arriba con arriba y abajo con abajo, y ya está. Sumarlas exige antes ponerlas sobre el mismo denominador, que es el paso donde se pierden los ejercicios.

La razón es que una fracción no es un número escrito con dos cifras: es un reparto. El denominador dice en cuántas partes se ha cortado la unidad y el numerador cuántas de esas partes tienes. Dos tercios y un cuarto son trozos de tamaños distintos, y trozos distintos no se pueden juntar contándolos: hay que volver a cortarlo todo del mismo tamaño primero. Eso es exactamente lo que hace el denominador común.

Sumar y restar: el mínimo común múltiplo

El procedimiento tiene tres pasos y ninguno se puede saltar:

1. Buscar el denominador común. Es el m.c.m. de los dos denominadores. Con 3 y 4, el m.c.m. es 12.
2. Ampliar cada fracción hasta ese denominador, multiplicando arriba y abajo por lo que falte. 2/3 se convierte en 8/12 porque hay que multiplicar por 4; 1/4 se convierte en 3/12 porque hay que multiplicar por 3.
3. Sumar los numeradores y dejar el denominador quieto: 8 + 3 = 11, así que la respuesta es 11/12.

El error que hay que evitar por encima de todos: no se suman los denominadores. 2/3 + 1/4 no es 3/7. Y hay una manera de darse cuenta sin saber nada de matemáticas: 3/7 es menos de la mitad, y estamos sumando dos tercios con algo más, así que el resultado tiene que pasar de dos tercios. Cualquier resultado más pequeño que el mayor de los sumandos está mal seguro.

Se puede usar el producto de los denominadores en lugar del m.c.m., y el resultado también es correcto. Con 1/3 + 1/6, por el producto se trabaja sobre 18 y sale 9/18; por el m.c.m., que es 6, se trabaja sobre 6 y sale 3/6. Las dos valen 1/2. La ventaja del m.c.m. es que las cifras se quedan pequeñas, y con cifras pequeñas se falla menos. Esta calculadora usa siempre el m.c.m. y lo escribe.

Multiplicar y dividir: en línea y con la inversa

Multiplicar no tiene misterio: numerador por numerador, denominador por denominador. 3/4 × 2/9 = 6/36, que simplificado es 1/6. No hace falta denominador común ni nada parecido.

Dividir es multiplicar por la inversa: se le da la vuelta a la segunda fracción y se multiplica. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8. Suena a truco arbitrario y no lo es: dividir entre 2/5 es preguntar cuántos trozos de dos quintos caben en tres cuartos, y como cada unidad contiene cinco medios de quinto… la explicación corta es que multiplicar por 5/2 deshace exactamente lo que hace multiplicar por 2/5, igual que dividir entre 2 es multiplicar por 1/2.

Antes de multiplicar conviene simplificar en cruz: cancelar los factores comunes entre el numerador de una fracción y el denominador de la otra. En 3/4 × 2/9, el 3 y el 9 se dividen entre 3, y el 2 y el 4 se dividen entre 2, con lo que queda (1 × 1)/(2 × 3) = 1/6 directamente. Da el mismo resultado que multiplicar y simplificar al final, pero sin pasar por el 6/36. Con números grandes esa diferencia deja de ser cosmética.

Simplificar: el máximo común divisor

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador no comparten ningún factor primo, es decir, cuando su m.c.d. es 1. Es la forma en la que hay que dejar siempre el resultado.

Se puede llegar a ella a trompicones, dividiendo entre 2 mientras los dos sean pares, luego entre 3 y así. Funciona, pero no se sabe cuándo parar. Con el m.c.d. se llega de una vez y con certeza. Para 24/36:

• 24 = 2³ × 3  ·  36 = 2² × 3²
• Factores comunes con el menor exponente: 2² × 3 = 12
• 24 ÷ 12 = 2  ·  36 ÷ 12 = 3  →  2/3

Y de paso queda dicha la diferencia entre las dos siglas que todo el mundo confunde: el m.c.d. toma los factores comunes con el menor exponente y sirve para simplificar; el m.c.m. toma todos los factores con el mayor exponente y sirve para sumar. Uno encoge y el otro agranda.

De fracción a decimal: cuándo se acaba y cuándo no

Pasar una fracción a decimal es dividir. Lo interesante es que se puede saber antes de dividir si el resultado va a acabarse o no, y la regla es corta: si el denominador de la fracción irreducible solo tiene factores 2 y 5, el decimal es exacto; si tiene cualquier otro primo, es periódico.

Por eso 1/8 sale exacto (8 = 2³, y da 0,125) y 1/6 no (6 = 2 × 3, y da 0,1666…). El motivo es que nuestro sistema de numeración es de base diez, y diez es 2 × 5: solo los denominadores hechos de esos dos ladrillos encajan en una potencia de diez. Un 3 o un 7 en el denominador no encaja jamás, por muchos decimales que se calculen.

Cuando el decimal es periódico, se distingue entre periódico puro, si el periodo empieza justo tras la coma (1/3 = 0,3̅), y periódico mixto, si hay cifras que no se repiten antes del periodo (1/6 = 0,16̅, donde el 1 no se repite y el 6 sí). La calculadora marca el periodo con una raya encima y dice de cuál de los dos tipos se trata.

De decimal a fracción: la generatriz

La vuelta se llama fracción generatriz, y es de las pocas cosas del temario que se resuelven con una receta que no falla nunca:

• Numerador: todo el número escrito sin la coma, menos la parte que no se repite.
• Denominador: un 9 por cada cifra del periodo, seguido de un 0 por cada cifra decimal que va delante del periodo.

Con 0,1666… el numerador es 16 − 1 = 15 y el denominador es 90 (un 9 por la cifra del periodo, un 0 por la cifra que no se repite): 15/90 = 1/6. Con 0,3̅ el numerador es 3 − 0 = 3 y el denominador es 9: 3/9 = 1/3. Y con un decimal exacto ni siquiera hace falta la receta: se quita la coma y se divide entre la potencia de diez que corresponda, 0,75 = 75/100 = 3/4.

Esta misma regla resuelve de paso la pregunta que más discusiones de bar ha causado en la historia de las matemáticas de instituto: 0,999… es exactamente 1. Numerador 9 − 0 = 9, denominador 9, resultado 9/9 = 1. No es «casi» uno ni un redondeo: son dos maneras de escribir el mismo número, como 0,5 y 1/2. Puedes comprobarlo tú en el modo «Decimal a fracción» escribiendo 0 y poniendo 9 de periodo.

Por qué esta calculadora no usa decimales por dentro

Un ordenador guarda los decimales en binario, y en binario 1/3 no cabe: se guarda una aproximación. Si esta página calculara 1/3 + 1/6 pasando a decimal, el resultado sería 0,49999999999999994 y la fracción reconstruida a partir de ahí sería basura, o peor, sería casi correcta y no lo notaría nadie.

Aquí no se toca un decimal en ningún momento del cálculo: se trabaja siempre con numeradores y denominadores enteros y el decimal se obtiene solo al final, por división larga cifra a cifra, que es además lo que permite detectar el periodo. Los enteros de un navegador son exactos hasta unos nueve mil billones; si una cuenta se pasara de ahí, esta calculadora lo avisa en lugar de devolver un número redondeado haciéndolo pasar por exacto. Preferimos decir «no puedo» a decir una cifra falsa.