Calculadora de m.c.m. y m.c.d.

Dos siglas parecidas que hacen lo contrario

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo se estudian juntos, se escriben casi igual y se confunden constantemente. La forma rápida de no equivocarse es acordarse de que uno encoge y el otro agranda: el m.c.d. nunca es mayor que el más pequeño de los números, y el m.c.m. nunca es menor que el más grande.

Las dos reglas, una al lado de la otra

Las dos parten de lo mismo: descomponer cada número en factores primos. Lo que cambia es qué se coge después.

• m.c.d. — los factores comunes, elevados al menor exponente.
• m.c.m. — todos los factores, elevados al mayor exponente.

Con 12 y 18, que es el ejemplo de todos los libros:

• 12 = 2² × 3  ·  18 = 2 × 3²
• m.c.d.: comunes son el 2 y el 3; al menor exponente, 2 × 3 = 6
• m.c.m.: todos son el 2 y el 3; al mayor exponente, 2² × 3² = 36

Y aquí está el error que más se repite: «común» quiere decir que está en todos, no en alguno. Con 12, 18 y 30 aparece un 5, pero solo en el 30. Ese 5 entra en el m.c.m. y no entra en el m.c.d., y colarlo es la forma más habitual de dar un máximo común divisor demasiado grande.

La comprobación que solo vale para dos

Hay una identidad muy útil: m.c.d.(a, b) × m.c.m.(a, b) = a × b. Con 12 y 18 da 6 × 36 = 216, que es exactamente 12 × 18. Como comprobación es inmejorable: si no cuadra, algo has hecho mal.

Lo que casi nunca se dice es que solo vale para dos números. Con tres deja de cumplirse, y no por poco: con 2, 3 y 4 el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es 12, así que el producto de ambos es 12, mientras que 2 × 3 × 4 son 24. No hay ninguna fórmula equivalente para tres números que sea así de simple. Por eso esta calculadora enseña la comprobación cuando escribes dos y avisa de que no aplica cuando escribes más.

El algoritmo de Euclides, para cuando factorizar no es viable

Descomponer en factores primos está muy bien con 12 y 18, y es completamente impracticable con 1.071 y 462. Para eso está el algoritmo de Euclides, que tiene más de dos mil años y sigue siendo el método que se usa:

1. Divide el mayor entre el menor y quédate con el resto.
2. Divide ahora el divisor anterior entre ese resto.
3. Repite hasta que el resto sea cero. El último resto que no fue cero es el m.c.d.

Con 48 y 18: 48 = 2 × 18 + 12; luego 18 = 1 × 12 + 6; luego 12 = 2 × 6 + 0. El último resto no nulo es 6, y ese es el máximo común divisor. La calculadora de arriba lo escribe división a división cuando le das dos números.

Para qué sirven fuera del examen

El m.c.m. resuelve todos los problemas de «cuándo vuelven a coincidir». Dos autobuses que salen cada 12 y cada 18 minutos vuelven a salir juntos cada 36 minutos. Lo mismo con dos luces que parpadean a ritmos distintos, con los dientes de dos engranajes o con dos tareas que se repiten con periodos diferentes.

El m.c.d. resuelve los de «el trozo más grande posible». Si tienes dos cintas de 24 y 36 cm y quieres cortarlas en pedazos iguales y lo más largos que se pueda sin desperdiciar nada, los pedazos miden 12 cm. Y es también lo que se usa para simplificar una fracción a irreducible de una sola vez, en lugar de ir dividiendo entre 2 y entre 3 hasta que ya no se pueda.

Los casos raros: el 0, el 1 y los primos entre sí

Dos números son primos entre sí cuando su m.c.d. es 1, o sea cuando no comparten ningún factor. No hay que confundirlo con ser primos: 8 y 9 son primos entre sí —8 = 2³ y 9 = 3², sin nada en común— y ninguno de los dos es primo. Cuando eso pasa, el m.c.m. es directamente el producto.

Con el 0 la respuesta sorprende: el m.c.d. de 0 y n es n, porque todos los números dividen al cero; y el m.c.m. de 0 y n es 0. Esta calculadora los resuelve, aunque el 0 y el 1 no aparezcan en la tabla de factores: no tienen descomposición en primos que enseñar.